Jennifer Ouellette là một phóng viên cao cấp tại Ars Technica với trọng tâm đặc biệt là nơi khoa học gặp gỡ văn hóa, bao gồm mọi thứ từ vật lý và các chủ đề liên ngành liên quan đến các bộ phim và phim truyền hình yêu thích của cô. Jennifer sống ở Baltimore với người phối ngẫu của cô, nhà vật lý Sean M. Carroll, và hai con mèo của họ, Ariel và Caliban.
Tôi là Orlin
Galileo một lần được mô tả một cách nổi tiếng vũ trụ như một cuốn sách vĩ đại “được viết bằng ngôn ngữ toán học và các ký tự của nó là hình tam giác, hình tròn và các hình học khác”. Thật không may, đó là một ngôn ngữ mà nhiều người ngoài ngành toán học và khoa học không nói được, phần lớn là vì họ bối rối và/hoặc sợ hãi trước mật độ dày đặc của tất cả các ký hiệu tượng trưng kỳ lạ đó.
Giáo viên toán xuất sắc Ben Orlin ở đây để giúp đỡ với cuốn sách mới nhất của mình: Toán cho sinh viên chuyên ngành tiếng Anh: Quan điểm của con người về ngôn ngữ chung. Và giống như những chuyến đi trước của Orlin, nó chứa đầy những bức vẽ xấu mang thương hiệu của tác giả. Phần thưởng: Orlin đã tạo ra một bài kiểm tra tính cách vui nhộn mà bạn có thể lấy ở đây để tìm ra phong cách toán học của bạn.
Cuốn sách đầu tiên của Orlin, Toán học với những bức vẽ xấusau đó blog của anh ấy cùng tên, được xuất bản vào năm 2018. Nó bao gồm những điểm nổi bật như đưa ra một cuộc thảo luận về hệ số tương quan Và “Tứ tấu Anscombe” vào thế giới của Harry Potter và lập luận rằng việc xây dựng Ngôi sao Chết theo hình cầu có thể không phải là bước đi sáng suốt nhất của Đế chế Thiên hà. Chúng tôi đã tuyên bố nó “một tác phẩm tuyệt vời, giải trí dành cho cả người mới bắt đầu và người hâm mộ toán học, bởi vì Orlin rất giỏi trong việc tìm ra những cách mới lạ để kết nối toán học với các vấn đề thực tế—hoặc trong trường hợp của Ngôi sao Chết, với các vấn đề trong thế giới hư cấu.”
Năm 2019, Orlin đã chấp nhận thử thách truyền tải tính hữu ích và vẻ đẹp của phép tính bằng những câu chuyện cao siêu, những câu nói dí dỏm, và thậm chí là những bức vẽ tệ hơn nữa Sự thay đổi là hằng số duy nhất: Trí tuệ của phép tính trong thế giới điên rồ. Cuốn sách đó là một bộ sưu tập đầy màu sắc gồm 28 câu chuyện toán học kết nối các khái niệm trong phép tính với nghệ thuật, văn học và mọi thứ mà con người phải vật lộn hàng ngày.
Cuốn sách gần đây nhất của Orlin là năm 2022 Trò chơi toán học với hình vẽ xấu—ít hơn một cuốn sách mà người ta đọc từ đầu đến cuối và nhiều hơn là cơ hội cho người đọc duyệt ngẫu nhiên khi rảnh rỗi để tìm trò chơi phù hợp nhất với sở thích và kỹ năng cụ thể của họ, chẳng hạn như Jottomột trò chơi chữ theo hướng logic được phát minh vào năm 1955 tương tự như Từ ngữ. Có năm loại trò chơi khác nhau: trò chơi không gian, trò chơi số, trò chơi kết hợp, trò chơi rủi ro và phần thưởng, và trò chơi thông tin. Tất cả đều có thể chơi chỉ với một vài vật dụng gia đình thông thường: bút chì và giấy, tiền xu, bút màu, xúc xắc tiêu chuẩn, bánh quy Goldfish, kẹp giấy, tay của bạn và đôi khi là kết nối Internet. (Bạn có thể thử sức mình với trò chơi Lượng tử Go Fish đây.)
Không giống như những cuốn sách trước của ông, nơi ông cẩn thận tránh hầu hết các ký hiệu toán học, Toán cho sinh viên chuyên ngành tiếng Anh được thiết kế để dạy người đọc cách đọc và diễn giải các ký hiệu toán học, chứng minh và sơ đồ toán học. Tầm nhìn ban đầu của ông là viết tương đương với toán học như cuốn sách bán chạy nhất của Lynne Truss Ăn, Chồi và Lá. “Đây là một cuốn sách rất vui nhộn về dấu câu tiếng Anh, đan xen những câu chuyện thú vị về dấu phẩy, dấu chấm phẩy và dấu gạch ngang”, Orlin nói với Ars. “Nhưng tôi thấy rằng toán học chỉ là một loại ngôn ngữ khác biệt về cơ bản, và khuôn mẫu đó không thực sự hiệu quả với tôi”.
Một số yếu tố của tầm nhìn trước đó vẫn còn tồn tại: Toán cho sinh viên chuyên ngành tiếng Anh nói về số như danh từ, động từ như phép tính và đại số như ngữ pháp, đồng thời nêu bật một số thành ngữ (“lũy thừa”) và từ nguyên (“bình phương”) để có số liệu chính xác.
Nhưng mục tiêu chính của Orlin là hòa giải quan điểm của chuyên gia về toán học, “nơi ký hiệu biến mất và bạn chỉ tập trung vào các ý tưởng mà ký hiệu truyền tải”, với trải nghiệm toán học của người mới bắt đầu, “nơi bạn thậm chí không thể tiếp cận các ý tưởng vì có bức tường biểu tượng dày cản đường”. Orlin nói rằng toán học vừa là “một tập hợp các ý tưởng đẹp đẽ vừa là ngôn ngữ để diễn đạt những ý tưởng đó”. Cách tiếp cận của ông trái ngược với cách phổ biến toán học thông thường, nơi các ý tưởng được dịch sang tiếng Anh thông thường và ký hiệu phần lớn bị tránh. Ở đây, ký hiệu là trọng tâm chính.
Ars đã nói chuyện với Orlin để tìm hiểu thêm.
Ars Technica: Những người không có năng khiếu toán học thường thấy tất cả các ký hiệu trừu tượng đó và mắt họ đờ đẫn. Hãy cùng nói về bản chất của các ký hiệu trong toán học và lý do tại sao việc làm quen hơn với ký hiệu toán học có thể giúp những người không giỏi toán vượt qua rào cản ngôn ngữ đó.
Tôi là Orlin: Thật khó khăn. Khi tôi mới trở thành giáo viên, tôi chủ yếu cố gắng thúc đẩy những học sinh chỉ học các quy trình thao tác ký hiệu và không có bất kỳ ý thức nào về cách đọc và truy cập thông tin đằng sau chúng. Điều đó luôn làm tôi bối rối: tại sao chúng ta lại dạy theo cách đó? Bạn sẽ có những học sinh rất thông minh, sáng dạ, và tất cả những gì chúng ta dành cho chúng là hàng trăm giờ thực hành thao tác ký hiệu. Nhưng phương trình bậc hai là gì? Chúng thực sự không thể nói cho bạn biết.
Một trong những điều tôi dần chấp nhận là nó gần như được đưa vào ngôn ngữ mà ký hiệu toán học đã phát triển đặc biệt cho mục đích thao tác mà không cần suy nghĩ nhiều về nó. Nếu bạn có đúng tập hợp kinh nghiệm dẫn đến điều đó, thì điều đó rất tiện lợi, bởi vì điều đó có nghĩa là khi bạn ngồi xuống để giải quyết một vấn đề, bạn không phải giải quyết nó như Archimedes với rất nhiều bước một lần tuyệt vời, nơi bạn chỉ có trực giác hình học tuyệt đẹp về mọi thứ. Bạn chỉ có thể giống như, “Được rồi, tôi sẽ thực hiện các thủ tục thao tác ký hiệu.” Vì vậy, có một sức mạnh thực sự trong các thủ tục đó. Chúng thực sự có giá trị và quan trọng.
Nhưng nếu đó là tất cả những gì bạn có, thì bạn đang thực hiện một điệu nhảy mà bạn biết các động tác, nhưng bạn chưa bao giờ nghe nhạc. Bạn không thể khắc phục sự cố. Đôi khi tôi ước rằng với tư cách là một giáo viên, bạn có thể chỉ nói, “Nhìn này, các quy trình thao tác biểu tượng là vô giá trị. Chúng ta có thể bỏ qua chúng và tập trung vào các ý tưởng.” Nhưng chúng bị rối rắm theo một cách phức tạp hơn nhiều. Vì vậy, bằng cách nào đó, bạn phải trèo vào đó cùng với học sinh và di chuyển qua lại giữa những điều đang diễn ra trên trang và các ý tưởng đang diễn ra trong một không gian cao hơn nào đó.
Đó là nơi mà cuốn sách này cuối cùng sẽ đi đến. Nhưng tôi sẽ đi đến đó dần dần, vì bạn cần rất nhiều kinh nghiệm với các ký hiệu có ý nghĩa với bạn trước khi bạn có thể cảm thấy thoải mái khi thực hiện thao tác trên một trang.
Ars Technica: Bạn có khoảnh khắc yêu thích nào mà học sinh của bạn đã có một bước đột phá đáng kể trong sự hiểu biết về toán học không?
Ben Orlin: Chúng là phép thuật khi chúng xảy ra, và chúng thường nhỏ. Cách hiểu được xây dựng không giống như chỉ có một cú nhấp chuột. Nó không phải là, “Ồ, bây giờ tôi biết tất cả các phương trình vi phân.” Có một khoảnh khắc tôi nhớ vì nó quá phi lý với tôi. Tôi đang dạy lớp chín ở Anh, và tôi đã đưa ra một vấn đề với bảng có một số phân số trong phân số. Tôi chỉ nhân với một mẫu số để xóa nó để nó không phải là một phân số trong một phân số. Bây giờ nó chỉ là một phần đơn giản. Tôi không bao giờ mong đợi phản ứng: một đám học sinh lớp chín cổ vũ, ríu rít và la hét. Họ rất phấn khích vì họ đã không nghĩ ra cách thao túng nó. Họ đã không học được bất kỳ ý tưởng mới nào trong thời điểm đó, nhưng chỉ cần thành thạo toán học là điều thú vị đối với họ.
Thông thường đó không phải là điều khiến học sinh hào hứng. Điều khiến họ hào hứng là thực sự hiểu mọi thứ. Gần đây tôi đang dạy một bài giới thiệu về thống kê. Giá trị P là MacGuffin của thống kê. Chúng xuất hiện ở khắp mọi nơi. Học sinh không thực sự hiểu ý nghĩa của chúng. Nhưng một ngày nọ, tôi ném hàng tá nghiên cứu giả vờ mô phỏng vào họ và yêu cầu họ đánh giá xem giả thuyết vô hiệu là đúng hay giả thuyết thay thế là đúng. Đến cuối cùng, họ đã nói chuyện như những nhà thống kê. Ngay cả khi họ không áp dụng định nghĩa về giá trị P, họ chỉ có trực giác rằng, “Được rồi, P = 0,00001, vâng, được rồi, đó chắc chắn là một hiệu ứng thực sự. P = 0,32, không có cách nào đó là một hiệu ứng thực sự. P = 0,06 hoặc P = 0,03, đó là đường biên. Khó nói. Phải xem bối cảnh một chút.” Họ không thấy mình làm bất cứ điều gì kỳ diệu, nhưng điều đó thật thú vị đối với tôi bởi vì vào đầu ngày, họ không biết làm thế nào để giải thích con số này, và đến cuối ngày, họ đã làm.
Tôi không chắc nó cảm thấy với họ như một sự hiểu biết toán học sắc nét. Nhưng việc sử dụng toán học trong thế giới thực thường hơi mờ nhạt và có thể thương lượng. Một phần thách thức của toán học là bạn có thế giới nơi mọi thứ đều sắc nét, sạch sẽ và được xác định hoàn hảo – đó là vùng đất vĩ đại của sự trừu tượng – nhưng sau đó bạn phải đưa những trừu tượng đó vào thực tế, nơi bản đồ luôn hơi lộn xộn.
Ars Technica: Nói về ánh xạ lộn xộn, bạn rất thẳng thắn trong cuốn sách về cách tương tự của bạn đối với ngôn ngữ toán học — số là danh từ, phép toán là động từ, ngữ pháp là cú pháp — không hoàn hảo, ở chỗ chúng hoạt động cho số học cơ bản nhưng ít hơn khi bạn đến đại số và giải tích. Tại sao vậy?
Ben Orlin: Danh từ là số, tôi thích điều đó vì danh từ là yếu tố đơn giản nhất của ngôn ngữ. Chúng thường là những điều đầu tiên bạn học. Chỉ cần đặt tên cho mọi thứ, theo nghĩa đen. Những con số không phải là con người hay địa điểm, nhưng chúng là những thứ cơ bản của toán học. Có một điểm triết học kỳ quặc mà tôi muốn đưa ra: chuẩn bị cho sinh viên các loại bước nhảy trừu tượng mà họ sẽ cần thực hiện khi học toán, để cung cấp cho họ sự khuyến khích rằng họ đã thực hiện một bước nhảy vọt. Đó chỉ là học đếm. Có một vài cách để đóng khung nó, nhưng một là những con số trong lời nói hàng ngày thực sự là tính từ. Bạn có thể có bảy ghim, và bạn có thể có bảy tách cà phê. Nhưng bảy không phải là một điều trong thực tế. Bạn không thể chạm vào bảy. Bạn không thể cảm nhận được bảy. Không có kinh nghiệm vật chất trực tiếp về khái niệm bảy.
Hiện tại, chỉ cần học đếm, điều mà đứa con 5 tuổi của tôi khá giỏi, chúng đã thực hiện một bước nhảy vọt triết học thực sự. Sau đó, bạn phải đi từ quá trình cộng cụ thể này đến những gì xảy ra khi bạn thêm X cộng với Y hoặc quy trình tính toán cụ thể này vào một hàm tùy ý mà chúng tôi thậm chí không thể ghi lại phép tính mà bạn đang thực hiện. Khi bạn thực hiện những bước nhảy vọt đó, tôi hy vọng mọi người có thể rút ra một chút khuyến khích từ thực tế là họ đã thực hiện một bước nhảy vọt như vậy chỉ bằng cách coi một số như một danh từ chứ không phải là một tính từ. Phần đó của bản đồ cảm thấy khá rõ ràng đối với tôi: liệt kê là đặt tên cho thế giới. Đó là gán tên cho tất cả các đại lượng mà chúng ta chạy vào.
Nơi mà ánh xạ ngôn ngữ là một chút đá hơn là với các hoạt động và động từ. Khi bạn lần đầu tiên gặp họ, các hoạt động thực sự cảm thấy giống như động từ. Cộng và trừ là những điều bạn làm với các con số. Thêm là đẩy các cọc lại với nhau, và trừ đi là lấy đi một số từ cọc. Nhân là tạo một mảng hoặc một hình chữ nhật. Phân chia là phân chia theo nghĩa đen, vì vậy chúng thực sự cảm thấy giống như động từ. Nhưng trong ngôn ngữ toán học, chúng không phải vậy. Chúng giống như giới từ hoặc liên từ. Tôi xem sự chuyển đổi quan điểm đó thực sự quan trọng đối với việc học toán, đặc biệt là khi tôi dạy trung học cơ sở và thấy những học sinh có khả năng phát triển mạnh trong đại số.
Một phần lớn trong số đó là có thể chấp nhận các hoạt động chỉ là cấu trúc, vị trí cạnh nhau của hai số. Khi bạn nhìn thấy A hơn B, không ai yêu cầu bạn thực sự phân chia. Bạn không cần phải thực hiện bất kỳ quá trình tính toán nào. Nó chỉ là một tỷ lệ, A đến B, và họ chỉ có thể ngồi đó theo tỷ lệ đó, và đó là tất cả những gì cần có. Quá trình chuyển đổi đó là khó khăn, và thực tế là phép ẩn dụ ngôn ngữ bị phá vỡ ở đó không phải là một sự trùng hợp ngẫu nhiên. Có tiếng Anh hàng ngày nơi các phép toán là động từ, và sau đó có ngôn ngữ đại số trong đó các phép toán không phải là động từ. Các phép toán là giới từ, và các động từ duy nhất chúng ta thực sự sử dụng là “bằng” và “lớn hơn” và “nhỏ hơn”.
Ars Technica: Sau đó là ngữ pháp, tức là các quy tắc chi phối cách bạn làm những điều này.
Ben Orlin: Ngữ pháp kết hợp một vài loại quy tắc khác nhau, đặc biệt là ngữ pháp toán học, đó là sự kết hợp kỳ lạ này, bởi vì một số quy tắc ngữ pháp toán học thực sự là cách mã hóa sự thật sâu sắc về số. Tài sản phân phối là một trong những cổ điển. Bạn có thể xem đó là một sự thật cơ bản về việc kết hợp cọc. Nếu bạn có một đống đồ vật và đống B của mọi thứ, thì bạn có đống A cộng với B, nghe có vẻ khá đơn giản cho đến khi bạn bắt đầu thực hiện một số đại số, khi cách áp dụng thuộc tính phân phối trở nên khá tinh tế.
Vì vậy, một số quy tắc ngữ pháp của toán học là về mã hóa những sự thật sâu sắc. Một số trong số họ gần như phong cách. Chúng ta có xu hướng viết AB chứ không phải BA mà không có lý do đặc biệt. Chỉ là khi bạn có nhiều thứ bạn đang nhân lên với nhau, sẽ rất khó để theo dõi tất cả. Nếu bạn có ABC và BAC và ACB, có sáu phiên bản khác nhau của điều đó, vì vậy bạn chỉ cần sắp xếp thứ tự bảng chữ cái các biến của mình để dễ theo dõi hơn.
Phương trình là một loại câu rất hạn chế. Chúng chỉ là những câu “được”. Bạn chỉ bao giờ nói trong một phương trình, điều này và điều kia là như nhau, điều này sẽ không tạo nên một nền văn học tốt. Không ai muốn đọc vở kịch đó hay bài thơ đó. Nhưng trong toán học, nó rất tuyệt, bởi vì đó là loại thông tin mà toán học cung cấp cho chúng ta: những cách khác nhau để biểu diễn cùng một đối tượng. Vì vậy, bạn có thể có được các hình thức thực sự phong phú của diễn ngôn toán học, mà chỉ là diễn giải. Thứ này cũng giống như thứ đó, và thứ đó cũng giống như thứ đó. Vì vậy, ngữ pháp của đại số được xây dựng để cho phép chúng ta có những cuộc trò chuyện kỳ lạ đó.
Ars Technica: Tôi đặc biệt thích hướng dẫn từ vựng toán học mà bạn đưa vào cuối như một loại phụ lục rất dài.
Ben Orlin: Thật sự rất vui khi viết. Đó là một bổ sung cho các phần khác của cuốn sách, thực sự đi theo bản chất của toán học mà chúng ta cố gắng dạy ở trường. Nhưng tôi chỉ muốn một chuyến tham quan các thuật ngữ từ vựng toán học thú vị thuộc loại mà bạn có thể sử dụng trong cuộc sống hàng ngày. Tôi thích ý tưởng cố gắng gieo nhiều hạt giống thuật ngữ toán học có thể nở rộ vào lời nói hàng ngày. Tôi thích ý tưởng xây dựng cầu nối giữa toán học và các phần khác trong đời sống trí tuệ của chúng ta.
Ars Technica: Thách thức lớn nhất khi ông viết cuốn sách này là gì?
Ben Orlin: Thách thức là có quá nhiều điều có thể nói. Khi tôi ngồi viết một chương về phép cộng, để lại cho các thiết bị của riêng mình, tôi có thể viết 40.000 từ về phép cộng. Nhưng tôi không muốn viết 40.000 từ. Tôi muốn viết 800 từ. Vì vậy, bài học đúng đắn để dạy trong thời điểm này cho người đọc là gì? Điều đó thật khó. Cuốn sách liên quan đến ít nghiên cứu hơn những cuốn sách trước đây của tôi, và chính vì lý do đó nó khó viết hơn vì tôi có tất cả những ý tưởng khác nhau từ 10-15 năm giảng dạy gõ quanh trong đầu. Làm thế nào để tôi chắt lọc một bài học thú vị gọn gàng cho chương này? Vì vậy, tôi sẽ ngồi xuống và viết một chương và nghĩ, “Được rồi, nếu cuốn sách sẽ kết thúc trong năm trang nữa, điều tôi thực sự cần phải nói với bạn về toán học trước khi tôi có thể để bạn đi là gì?”
Tôi sẽ viết chương đó, và rồi ngày hôm sau tôi ngồi xuống và nghĩ, “Được rồi, chúng ta đã đi xa đến mức này, nhưng nếu cuốn sách kết thúc sau năm trang nữa, điều tiếp theo tôi thực sự phải nói với bạn về toán học là gì?” Đó không phải là cách tôi đã viết bất kỳ cuốn sách nào khác. Đó là một cách viết rất lạ. Tôi là một người lập kế hoạch từ trên xuống nhiều hơn. Nhưng đối với cuốn sách này, quá trình đó cảm thấy đúng. Tôi muốn mỗi bài học đều có cảm giác cấp bách đó.
